CONCEPTOS - DUDAS

SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

¿Por qué se llama así el caso?

"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.


¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula (¿qué es un "binomio"?):

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". (¿doble producto?)

Por ejemplo:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x² + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)².
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

 a² + 2.a.b + b²

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a² y b². Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.
(¿qué son las "bases"?) (¿qué es "doble producto"?)

Por ejemplo, en:

x² + 10x + 25

Los términos "cuadrados" son x² y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)².

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)² es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (¿qué significa "factorizar"?)


¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?

Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original.
En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:

1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)² = a² + 2.a.b + b²) al resultado que nos dió:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):

(x + 5).(x + 5) = x² + 5x + 5x + 25 = x² + 10x + 25


¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?

Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:

- El polinomio tiene que tener 3 términos.
- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son números, tienen que ser números que tengan raíz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x², a⁴, x⁶, etc.)
- Los términos que están al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x² - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x² no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado dá positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)² me va a dar un trinomio con algún cuadrado negativo (ya que a² y b² van a dar positivos). El único término que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).