Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

EJEMPLO:

Factorizar , observemos primero que se puede escribir en otra forma: 

Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y,  y B=3, obtenemos:

Factorizar 

_EJEMPLO: 

números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Subconjunto de los números Reales

regla de Ruffini

                                                    Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x³ + x² - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue:

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.
2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2
3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.
4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.
Resto = 5 y C(x)=2x² + 3x por tanto 2x³ + x² - 3x + 5 =(x-1) (2x² + 3x) +5

En este vídeo nos enseña como resolver una (REGLA DE TRES COMPUESTA)

video de los casos de factoreo

¿QUE ES FACTORIZACION?
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto.

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Factorización: Trinomio de la forma x2 + bx + c

En este video podremos ver paso a paso  como resolver el siguiente trinomio, y ampliar nuestro conocimiento.

Factorización de Polinomios - Ejercicio 1

QUE SON LAS MATEMÁTICAS

La Matemática (o las matemáticas) es una ciencia, hallada dentro de las ciencias exactas, que se basa en principios de la lógica, y es de utilidad para una gran diversidad de campos del conocimiento, como la Economía, la Psicología, la Biología y la Física. Además, la Matemática es una ciencia objetiva, pues los temas tratados por ella, no son abiertos a discusión, o modificables por simples opiniones; sólo se cambian si se descubre que en ellos hay errores matemáticos comprobables.

Actualmente el concepto de Matemática excede en su objeto de estudio la cantidad y el espacio, tal como era concebida en la antigüedad; pues han aparecido nuevas ramas de esta ciencia que no poseen ese objeto de estudio, como la Geometría Abstracta y la Teoría de Conjuntos. La Matemática, a partir del siglo XIX, estudia los entes abstractos, como los números y las figuras de la geometría; respecto de sus propiedades, y las relaciones existentes entre ellos. A través de ello, la Matemática busca reglas o patrones que se repiten en los entes abstractos, y que ayudan al análisis de los mismos.
La Matemática desarrolla la inteligencia y la capacidad de resolución de problemas lógicos; es un instrumento ampliamente utilizado en las operaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo: cuando vamos al supermercado y gastamos diez pesos en alimentos, sabemos que si pasamos con quince, deberán devolvernos cinco. Las operaciones matemáticas básicas son entonces: la suma, la resta, la multiplicación y la división; las mismas tienen tanta importancia como el hecho de saber leer y escribir.
Entre las ramas en las cuales la Matemática se divide, encontramos las siguientes: Geometría, Aritmética, Probabilidad y estadística, Teoría de conjuntos, y Lógica matemática, entre otras.

                                              CONCEPTOS - DUDAS

SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

¿Por qué se llama así el caso?

"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.


¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula (¿qué es un "binomio"?):

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". (¿doble producto?)

Por ejemplo:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x² + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)².
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:

 a² + 2.a.b + b²

¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a² y b². Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.
(¿qué son las "bases"?) (¿qué es "doble producto"?)

Por ejemplo, en:

x² + 10x + 25

Los términos "cuadrados" son x² y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)².

De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)² es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (¿qué significa "factorizar"?)


¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?

Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original.
En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:

1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)² = a² + 2.a.b + b²) al resultado que nos dió:

(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25

2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):

(x + 5).(x + 5) = x² + 5x + 5x + 25 = x² + 10x + 25


¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?

Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:

- El polinomio tiene que tener 3 términos.
- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son números, tienen que ser números que tengan raíz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x², a⁴, x⁶, etc.)
- Los términos que están al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x² - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x² no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado dá positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)² me va a dar un trinomio con algún cuadrado negativo (ya que a² y b² van a dar positivos). El único término que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).

Factorización

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factor izar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

·         Binomios

1.    Diferencia de cuadrados

2.    Suma o diferencia de cubos

3.    Suma o diferencia de potencias impares iguales

·         Trinomios

1.    Trinomio cuadrado perfecto

2.    Trinomio de la forma x²+bx+c

3.    Trinomio de la forma ax²+bx+c

·         Polinomios

1.    Factor común

2.    Triángulo de Pascal como guía para factor izar

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Divicion de polinomios regla de ruffini

Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

    

REGLA DE TRES SIMPLE:

1. Tatiana escribe 275 palabras en tres minutos. ¿En cuántos minutos escribe 3 840 palabras?

Ejemplo:

275 palabras 3 minutos ( 3 840 . 3 ) 275 = 65.82

3 840 palabras

Tatiana requiere de 65 minutos y 82 segundos para escribir 3840 palabras.

2.Joaquín realiza una prueba sobre 50 puntos y al calificar debe transformar

los siguientes puntajes en sus equivalentes sobre 20. Ayúdale a realizar estas

transformaciones con los siguientes puntajes.

Ejemplo:

50 20 48 . 20 = 960 50 = 19.20

48       X

3.Luis gana $ 173 semanales. ¿Cuánto gana en 23 días de trabajo?

Ejemplo

$ 173 7 días ( 173. 23 ) 7 = 568

     x       23 días

R=En 23 días de trabajo Luis gana $ 568

Sara lee 14 páginas en 25 minutos. ¿Cuántas páginas leerá en los siguientes minutos?

Ejemplo

14 25 14 . 28 = 392 50 = 15.68

  X        28

 

DIFERENCIA DE CUADRADOS / EJERCICIOS RESUELTOS EJEMPLO 1: (Fácil) x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x     3 Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases". EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1  EJEMPLO 2: (Con dos letras) x2 - y2 = (x + y).(x - y) x     y Las dos bases son letras EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2 EJEMPLO 3: (Con el "1") b2 - 1 = (b + 1).(b - 1) b     1 No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con fracciones) x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5) x      3/5 9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4 EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2) x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2) x3   2 x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6 EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5 EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos") 36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)  6x       a3b2 Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6 EJEMPLO 7: (Con números decimales) x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4) x     0,4 También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN) EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7 EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés") -x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x) x       2 El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8 EJEMPLO 9: (Uno "con todo") 4/25 x6a2 - 0,01 b4y10 = (2/5 x3a + 0,1 b2y5).(2/5 x3a - 0,1 b2y5) 2/5 x3a       0,1 b2y5 Fracciones, decimales, potencias distintas de dos, varias letras... EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9 PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio) EJEMPLO 10: (Con números que no son cuadrados) x2 - 3 = (x + ).(x - ) x     El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.