domingo, 23 de febrero de 2014

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

${\frac {{8}}{{\sqrt {5}}}}$

hay que multiplicar numerador y denominador por ${\sqrt {5}}$

${\frac {{8}}{{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}}}={\frac {{8{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5^{2}}}}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

${\frac {{8{\sqrt {5}}}}{{\sqrt {5^{2}}}}}={\frac {8{\sqrt {5}}}{5}}={\frac {8}{5}}{\sqrt {5}}$

También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma más fácil.

Se debe tener cuidado al realizar las operaciones entre los radicales, pues si se tiene

${\frac {{8}}{{\sqrt {x}}}}$

Al racionalizar que se debería dividir por

${\frac {{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}}}$

es lo mismo

${\frac {{8}{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x^{2}}}}}$ que es correcto

que

${\frac {{8}{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}$ que no correcto

Porque estaríamos ganando soluciones, es decir notemos que ${{\sqrt {x^{2}}}}$ (que seria el valor absoluto de un número) no es lo mismo que ${{\sqrt {x}}^{2}}$ ( que es el cuadrado de una raíz) entonces cuando ${x}$ sea un número negativo, la racionalización definiría una nueva solución, que no es correcto

Racionalización de binomio de índice 2

Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

${\frac {{2}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$ ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

${\frac {{2}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$ · ${\frac {{{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}$ = ${\frac {{2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}}{{\sqrt {2^{2}}}-{\sqrt {3^{2}}}}}$

${\frac {{2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}}{{\sqrt {2^{2}}}-{\sqrt {3^{2}}}}}$ = ${\frac {{2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}}{{2}-{3}}}$

${\frac {{2({{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})}}{{-1}}}$ = ${-2({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}})$

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:

${\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}={\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}}}\cdot {\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}}={\frac {b{\sqrt {q}}-a{\sqrt {p}}}{b^{2}q-a^{2}p}}$

Más complicada es la racionalización de un trinomio:

${\frac {1}{a{\sqrt {p}}+b{\sqrt {q}}+c}}={\frac {(b{\sqrt {q}}+c-a{\sqrt {p}})(-b^{2}q-c^{2}+a^{2}p+2bc{\sqrt {q}})}{b^{4}q^{2}-2b^{2}c^{2}q-2b^{2}qa^{2}p+c^{4}-2c^{2}a^{2}p+a^{4}p^{2}}}$

sábado, 22 de febrero de 2014

LEYES DE LOS EXPONENTES

Leyes de los exponentes

Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 8² = 8 × 8 = 64

En palabras: 8² se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!

Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

Leyes de los exponentes

Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

Ley	Ejemplo
x¹ = x	6¹ = 6
x⁰ = 1	7⁰ = 1
x^-1 = 1/x	4^-1 = 1/4

x^mxⁿ = x^m+n	x²x³ = x²⁺³ = x⁵
x^m/xⁿ = x^m-n	x⁴/x² = x^4-2 = x²
(x^m)ⁿ = x^mn	(x²)³ = x^2×3 = x⁶
(xy)ⁿ = xⁿyⁿ	(xy)³ = x³y³
(x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ	(x/y)² = x² / y²
x^-n = 1/xⁿ	x^-3 = 1/x³

Explicaciones de las leyes

Las tres primeras leyes (x¹ = x, x⁰ = 1 y x^-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:

Ejemplo: potencias de 5
	... etc...
5²	1 × 5 × 5	25
5¹	1 × 5	5
5⁰	1	1
5^-1	1 ÷ 5	0,2
5^-2	1 ÷ 5 ÷ 5	0,04
	... etc...

verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso"n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0)	0ⁿ = 0
Exponente negativo (n<0)	¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0	Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

	x⁰ = 1, así que ...	0⁰ = 1
	0ⁿ = 0, así que ...	0⁰ = 0
	Cuando dudes...	0⁰ = "indeterminado"

viernes, 21 de febrero de 2014

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por para eliminar la raíz del denominador:

Por ejemplo:

Factorizamos el radicando del denominador: , y como , vamos a multiplicar numerador y denominador por para completar la potencia de 5

domingo, 9 de febrero de 2014

Triangulo de Pascal

TRIANGULO DE PASCAL

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.